OLASILIK

Dosyayı isterseniz görüntüleyebilir isterseniz indirebilirsiniz.


GoogleDocs üzerinden indirmek için : İndir–Açılan sayfadan indirebilirsiniz–

Önizleme ;

OLASILIK :
Olasılık kavramı
Örnek uzayları ve olaylar
Bazı temel olasılık kuralları
Şartlı olasılık ve bağımsızlık
Bayes teoremi
Sayma kuralları

OLASILIK
Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur.

Örnekler:
Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,
Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı.

ÖRNEK UZAY
Olasılık teorisi, bir rastgele deneme paradigmasına dayanır; bu ise, bir denemenin gerçekleşmeden önce sonucunun kesin olarak kestirilemeyeceğidir.
Bir rastgele denemenin örnek uzayı denemenin mümkün bütün sonuçlarını içeren bir S kümesidir; Örnek uzay bir yerde evrensel küme rolü oynar.

Örnek uzaydaki her bir sonuca örnek uzayın bir elemanı veya kısaca örnek noktası denir.

Örnek: Bir zarın atılmasında bir örnek uzay {1,2,3,4,5,6} iken { tek,çift} de olabilir.

Bir örnek uzay sonlu sayıda noktaya sahipse, buna sonlu örnek uzay denir. Sayılabilir sonsuz sayıda, yani doğal sayılar {1, 2, 3, · · · }
kadar noktaya sahipse, buna sayılabilir sonsuz örnek uzay denir.
Eğer x ekseninde örneğin 0 ≤ x ≤ 1 arasındaki sayılar kadar
noktaya sahipse, buna sayılamaz sonsuz örnek uzay denir. Sonlu ya
da sayılabilir sonsuz örnek uzaya bir kesikli örnek uzay
denirken sayılamayan sonsuz örnek uzayına da kesikli olmayan
örnek uzay denir.
Eğer bir örnek uzay, bir doğru parçasındaki
bütün noktalar veya bir düzlem üzerindeki bütün noktalar gibi bir
bütünden meydana gelmişse, bu örnek uzaya sürekli
denir.
OLAY
Bir A olayı, S örnek uzayının bir alt kümesidir, yani, mümkün sonuçların bir kümesidir. Bir denemenin sonucu A nın bir elemanı ise, A olayı gerçekleşmiştir denir. S in tek bir elemanından oluşan olaya basit olay denir. Özel olarak, S kümesine kesin veya mutlak olay, boş kümeye de imkansız olay denir.

Örnek: Bir paranın iki atılmasında yalnızca bir kez tura gelme olayı {TT, TY, YT, YY} örnek uzayının TY ve YT noktalarından oluşan bir alt kümesidir.

S deki olaylar için küme işlemleri kullanılacak olunursa, S deki başka olaylar elde edilmiş olur. Örneğin, A ve B iki olay olsun. Bu durumda;
A∪B, A ve B den en az birinin gerçekleşmesi olayıdır.
A∩B, A ve B nin gerçekleşmesi olayıdır.
A’, A nın olmama olayıdır.
A − B = A \ B ise A nın gerçekleşip B nin gerçekleşmeme olayıdır.
A ve B olaylarına tekabül eden iki küme ayrıksa, yani, A ∩ B = Ø ise, bu olaylara ayrık olay denir. Bu ise ikisinin birlikte gerçekleşmemesi anlamına gelir.
Genel olarak 1,2,3…n olaylarına,her bir olay ikilisinin ayrık olması koşulu altında,aralarında ayrık olaylar denir.

BAZI TEMEL OLASILIK KURALLARI
Kural 1:Bir S örnek uzayında A ve A’ iki bütünler olay ise
P(A’) = 1 − P(A) dır.
Kanıt
A ve A’ ayrık olaylar ve A ∪ A’ = S olduğundan,
1 = P(S)
= P(A ∪ A’)
= P(A) + P(A’)
P(A’) = 1 − P(A) dır.

Kural 2: Herhangi bir S örnek uzayında P(Ø) = 0 dır.
Kanıt
S ve Ø ayrık olaylar ve S ∪ Ø = S olduğundan,
P(S) = P(S ∪ Ø )
= P(S) + P(Ø)
ve dolayısıyla P(Ø) = 0 dır.

Kural 3: A,B ve C bir S örnek uzayında 3 olay ise,

P(A∪B∪C) =P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) −P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C)
dir.

Kural 4: Herhangi bir A olayı için 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir.
Kanıt
A⊂B ise P(A) ≤P(B) ve Ø ⊂A⊂ S ten,
P(Ø) ≤ P(A) ≤ P(S) den elde edilir.
P(Ø) = 0 ve P(S) = 1 den de
0 ≤ P(A) ≤ 1
sonucu çıkar.

Kural 5: A ve B, S örnek uzayında iki olay ise,
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) dir.
Kanıt
A∩B’, A∩B ve A’∩B olaylarının olasılıkları sırasıyla a, b ve c olsun. Bu durumda
P(A∪B) = a + b + c
= (a + b) + (c + b) − b
= P(A) + P(B) − P(A∩B)

Örnek: Büyük bir şehirde rastgele seçilen bir ailenin bir LCDTV seti, bir HDTV seti veya her ikisini de kullanma olasılıkları sırasıyla 0.86, 0.35 ve 0.29 dur. Buna göre rastgele secilen bir ailenin bu setlerden en az birine sahip olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:
Let A = {LCDTV kullanan aile},
B = {HDTV kullanan aile}. P(A) = 0.86, P(B) = 0.35, ve
P(A∩B) = 0.29,
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
= 0.86 + 0.35 − 0.29
= 0.92.

Örnek: İyi karıştırılmış bir desteden rastgele bir kart çekildiğinde maça yada papaz olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Let A= {m P(A) = {maça çekme} , B={papaz çekme }

P(A)= 13/52, P(B)= 4/52 ve P(A∩B)= 1/52

P(A ∪B)= P(A)+P(B)-P(A ∩B)
=13/52 + 4/52 – 1/52
=16/52 = 4/13
KOŞULLU OLASILIK

Örnek:
Hilesiz bir zarın atılmasında (a) başka bir bilgi verilmemişse ve (b) sonucun tek sayı olduğu bilindiğine göre üst yüze gelen sayının 4 ten küçük olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: (a) B,{4 ten küçük} = {1,2,3} olayı olsun
P(B)=P(1)+P(2)+P(3)
= 1/6 +1/6 +1/6
= 3/6= 1/2
(b) A,{tek sayı}={1,3,5} olayı olsun. Bu durumda P(A)=3/6 ve P(A∩B)=2/6 dır.Dolayısıyla
P(B/A)= P(A∩B)
P(A)
=2/3

Buna göre,eklenen bilgi olasılığı 1/2 den 2/3 e çıkarılmıştır.

Teorem: A, B ve C bir S örnek uzayında 3 olay ve P(A∩B)= 0 olsun.
Bu durumda;
P(A∩B∩C) = P(A) · P(B\A) · P(C\A∩B)
dir.

Kanıt:

P(A∩B∩C) = P[(A∩B)∩C]
= P(A∩B) · P(C\A∩B)
= P(A) · P(B\A) · P(C\A∩B).

Örnek: Bir kutuda 5 i kırık olmak üzere 20 yumurta bulunmaktadır. Kutu içinden rastgele iadesiz 3 yumurta seçildiğinde 3 ünün de kırık olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:
A ilk yumurtanın, B ikinci ve C üçüncü yumurtanın kırık olma olayları olsun. Bu durumda
P(A)=5/20, P(B/A)=4/19 ve P(C\A∩B)=3/18 olur ve formülde yerine konursa
P(A∩B∩C)=P(A).P(B\A).P(C\A∩B)
= (5/20).(4/19).(3/18)
= 1/114
elde edilir.

BAĞIMSIZ OLAY
Eğer P(B\A) = P(B), yani, B nin gerçekleşmesi A nin
Gerçekleşmesine bağlı değilse yani etkilenmiyorsa, A ve B ye bağımsız olaylar denir.
Dolayısıyla
P(A∩B) = P(A) · P(B\A)
= P(A) · P(B)
dır.

A ve B nin bağımsız olması için gerek ve yeterli koşul
P(A∩B) = P(A) · P(B)
olmasıdır.

Örnek: Bir paranın 3 kez atılması deneyinde TTT,TTY ,TYT, YTT, TYY , YTY , YYT ve YYY gibi eş olasılıklı 8 mümkün sonuç vardır. A ilk iki atışta tura gelme olayı, B üçüncü atışta yazı gelme olayı ve C 3 atışta tam 2 kez yazı gelme olayı olsun. A ve B nin bağımsız olduğunu gösterin.

Çözüm:
A = {TTT,TTY }, B = {TTY ,TYY , YTY , YYY },
C = {TYY , YTY , YYT}, A∩B = {TTY },
B∩C = {TYY , YTY } olduğundan
P(A)=2\8, P(B)=4\8, P(C)=3\8, P(A∩B)=1\8, P(B∩C)=2\8 elde edilir.
P(A).P(B)= (2\8).(4\8)= 1\8= P(A∩B) olduğundan A ve B bağımsızdır.

Teorem:A ve B bağımsız iki olay ise, A ve B’ olayları da bağımsızdır.

Örnek:
(a) Hilesiz bir paranın 3 kez atılmasında 3 tura gelme;
(b) Hilesiz bir zarın 5 kez atılmasında tam dört kez 6 gelme olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:
(a) Ardışık olasılıklar çarpılarak,
(1\2). (1\2).(1.2)= 1\8

(b) (1\6).(1\6).(1\6).(1\6).(5\6)= 5\7.776
elde edilir.
BAYES TEOREMİ
SAYMA KURALLARI
Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:
Örnek uzayının eleman sayısı,
İlgilenilen olayın eleman sayısının
belirlenmesi gereklidir.

Kullanılan iki temel prensip;
1) Toplama Yöntemi
2) Çarpma Yöntemi

Toplama Yöntemi
Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise;
A veya B olayı n + m farklı şekilde oluşabilir.

Örnek: İstanbul’dan İzmir’e 2 farklı tren seferi, 4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve 1 adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul’dan İzmir’e kaç farklı şekilde gidilir?

2 + 4 + 40 + 1 = 47

Çarpma Yöntemi
Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise;
A ve B olayı n * m farklı şekilde oluşabilir.

Örnek: Bir iskambil destesinden çekilen iki kartın birinin Kupa diğerinin Maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?

13 * 13 =169

NOT: Çarpma yöntemi bağımsız olaylar için kullanılır.

k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortaya çıkan tüm durumların sayısı
kr
olarak hesaplanır.

Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı;

63 = 216 adettir.

Örnek uzayının eleman sayısı 216’dır.

Örnek Uzayı ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar
Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;

Permütasyon

Kombinasyon

Permütasyon
Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

n n-1 n-2 …………….. 2 1

n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:

n(n-1)(n-2)…(2)(1)=n! nPn = n!

6.5.4.3=360
Kombinasyon

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir