Sürekli Rassal Değişkenler ve Normal Dağlım

Dosyayı isterseniz görüntüleyebilir isterseniz indirebilirsiniz.


GoogleDocs üzerinden indirmek için : İndir–Açılan sayfadan indirebilirsiniz–

Önizleme ;

G‹R‹fi
Bir önceki bölümde kesikli rassal de¤iflkenler ve da¤›l›mlar incelenmiflti. Bu bö-lümdeyse herhangi bir aral›kta çok say›da de¤erler alabilen sürekli bir rassal de-¤iflken konu edilecektir.
Sürekli bir rassal de¤iflkenin olas› de¤erleri sonsuz ve say›lamaz olarak kabul
edilmektedir. Örne¤in sabah evden ifle giderken harcanan zaman, sürekli bir ras-sal de¤iflkendir. Çünkü bu zaman en az 5 dakika, en çok ise 130 dakika olmak
üzere, bu aral›ktaki yüzlerce hatta saniyeler dikkate al›nacak olursa milyonlarca
de¤er, zaman› gösteren X sürekli rassal de¤iflkenin de¤eri olmaktad›r. Bu örnek-te X zaman de¤iflkeninin alabilece¤i de¤erler 5-130 dakika aras›nda olmakta ve
bu aral›¤a (daha sonra ayr›nt›l› verilece¤i gibi) tan›m aral›¤› ad› verilmektedir.
Sürekli bir rassal de¤iflkenin uygulanaca¤› pek çok olas›l›k da¤›l›m› bulunmak-la birlikte, burada sadece normal olas›l›k da¤›l›m› ve binom da¤›l›m›na yaklaflan
normal da¤›l›mla karfl›laflt›rmalarda (test amac›yla) kullan›lan Student t da¤›l›m› in-celenecektir.
SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI
Sürekli olas›l›k da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabilecek ve normal da-¤›l›m› ana çizgileriyle inceleyecek, normal da¤›l›ma iliflkin olas›-l›klar› hesaplayabileceksiniz.
Yukar›da belirtilmifl oldu¤u gibi, de¤erleri say›lamayan bir rassal de¤iflkene, “sü-rekli bir rassal de¤iflken” denilmektedir. Baflka bir anlat›mla, sürekli bir rassal de-¤iflken bir aral›kta (veya aral›klarda) her de¤eri alabilmektedir. Çünkü bir aral›kta
bu de¤iflkenin alabilece¤i sonsuz say›da de¤er oldu¤u varsay›lmakta ve bu de¤er-lerin say›lamayacak çoklukta oldu¤u kabul edilmektedir. Örne¤in; (bir önceki bö-lümde verilmifl olan) bir pilin ömrü, kiflilerin boy uzunlu¤u, bir s›nav›n tamamlan-ma süresi, yeni do¤mufl bebeklerin a¤›rl›¤› gibi de¤iflkenler, sürekli rassal de¤ifl-kenlerdir.
Bir üniversitede ö¤renim gören 5000 erkek ö¤rencinin a¤›rl›klar› X rassal de-¤iflken olarak düflünülerek kg cinsinden afla¤›da verilmifltir:
Ünite 6 – Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 137
AMAÇ 
1
Tablo 6.1 Erkek
ö¤rencilerin
a¤›rl›klar›na iliflkin
göreli s›kl›k da¤›l›m›.
A¤›rl›k f Göreli
x S›kl›k
60-61’den az 9 0.018
61-62’den az 170 0.034
62-63’den az 460 0.092
63-64’den az 750 0.150
64-65’den az 970 0.194
65-66’dan az 760 0.152
66-67’den az 640 0.128
67-68’den az 440 0.088
68-69’dan az 320 0.064
69-70’den az 220 0.044
70-71’den az 180 0.036
N = 5,000 Toplam= 1.000
Yukar›da verilmifl olan göreli s›kl›klar, belirlenmifl s›n›flar›n yaklafl›k olas›l›kla-r› olarak kullan›labilmektedir.
Afla¤›da fiekil 6.1.’de göreli s›kl›k da¤›l›m›n›n histogram ve poligonu, fiekil
6.2.’deyse bu verilere iliflkin düzeltilmifl (smooted) poligonu verilmifltir. Düzeltil-mifl poligon, x sürekli rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› e¤risine bir yaklafl›md›r.
Yukar›daki tabloda s›n›f geniflli¤i 1 birim olarak al›nm›flt›r. Bu genifllik 1 birim-den fazla al›nacak olursa, bu kez de önce göreli s›kl›k yo¤unluklar› yeniden el-de edilir ve yo¤unluk de¤erlerinin grafi¤i çizilerek da¤›l›m e¤risi bulunur. Bir s›-n›f›n göreli s›kl›k yo¤unlu¤u, bir s›n›ftaki göreli s›kl›¤›n s›n›f geniflli¤ine bölün-mesiyle elde edilmektedir. Göreli s›kl›k yo¤unluklar›, bir histogramdaki dikdört-genlerin alanlar› toplam›n› 1.0 yapmak için bulunmaktad›r. Sürekli bir rassal de-¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m e¤risine, olas›l›k yo¤unluk fonksiyonu da denmektedir.
Sürekli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› afla¤›daki iki özelli¤i sa¤lamal›d›r.
1.Bir aral›kta herhangi bir de¤er alan x ‘in olas›l›¤› 0 – 1 aras›ndad›r.
2.x ’in ald›¤› tüm de¤erlerin olas›l›klar› toplam› 1’dir.
‹lk özellik, x sürekli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan,
0 ve 1 aras›ndaki aland›r (fiekil 6.3). ‹kinci özellikse, sürekli bir rassal de¤iflkenin
olas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›nda kalan alan toplam›n›n her zaman 1.0 veya % 100 ol-du¤udur (fiekil 6.4).
‹statistik 138
fiekil 6.1A¤›rl›klar›n histogram ve
poligonu.

fiekil 6.2A¤›rl›klar›n olas›l›k da¤›l›m
e¤risi.
fiekil 6.3E¤ri alt›ndaki alan iki nokta
aras›ndad›r.
Taral› alan
0 ile 1 aras›ndad›r.
x = a x = b
x
Taral› alan 1.0 ya da
% 100 dür.
x
fiekil 6.4Bir olas›l›k da¤›l›m e¤risi
alt›ndaki toplam alan.
Sürekli bir rassal de¤iflkenin bir aral›kta ald›¤› varsay›lan de¤erlerin olas›l›¤›,
afla¤›daki fiekil 6.5.’den de anlafl›laca¤› gibi, bir aral›¤›n iki limiti aras›nda ve e¤ri
alt›ndaki aland›r. fiekildeki (e¤ri alt›nda) a ve b aras›ndaki taral› (gri zeminli) alan,
X ‘in a ve b aras›nda olma olas›l›¤›n› vermektedir. Bu da,
P (a ≤ x ≤ b) = E¤ri alt›nda a ve b noktalar› aras›ndaki alan biçiminde gös-terilmektedir. Burada x; a’ya eflit ya da büyük, b’ye eflit ya da küçüktür.
Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar› örne¤ine dönülecek olursa, bu gruptan rassal se-çilen bir ö¤rencinin a¤›rl›¤›n›n 65 – 68 kg aras›nda olmas› olas›l›¤› (yukar›daki fie-kil 6.6.’da verildi¤i gibi)a¤›rl›klar›n da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan olarak gösteril-mektedir.
P (65 ≤ x ≤ 68)
olarak gösterilen olas›l›k de¤erinde, x, 65 kg’a eflit ya da büyük, 68 kg’a eflit ya
da küçüktür.
Sürekli bir olas›l›k da¤›l›m›nda olas›l›k, her zaman bir aral›k için hesaplan-maktad›r. Nitekim bu olas›l›k yukar›daki grafikte taral› olan 65 – 68 kg aral›¤›
için bulunmufltur.
X gibi bir sürekli rassal de¤iflkenin alabilece¤i tek bir de¤erin olas›l›¤› her za-man s›f›rd›r. Çünkü; verilen bir noktan›n alan› s›f›rd›r. Örne¤in; yukar›daki erkek
ö¤rencilere iliflkin örnekte, rassal seçilen bir erkek ö¤rencinin a¤›rl›¤›n›n 67 kg ol-ma olas›l›¤› s›f›rd›r ve,
P ( x = 67) = 0
biçiminde gösterilir. Bu durum grafik olarak da afla¤›daki biçimde gösterilir.
Genel ifadesiyle, a ve b, X ‘in ald›¤› iki de¤er oldu¤unda, bu de¤erlere iliflkin
olas›l›klar;
P (a) = 0 ve P (b) = 0
dir. Buradan da sürekli bir rassal de¤ifl-ken için,
P (a ≤ x ≤ b) = P (a < x < b) Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 139 fiekil 6.5Olas›l›¤›n e¤ri alt›ndaki alan olarak ifadesi. Taral› alan P ( a ≤ x ≤ b ) olas›l›¤›n› vermek x = a x = b x Taral› alan P ( 65 ≤ x ≤ 68 ) olas›l›¤›n› vermek 65 x 68 fiekil 6.6(65-68) kg aral›¤›ndaki x 'in olas›l›¤›. P ( x = 68 ) = 0 0,7 x fiekil 6.7x 'in tek bir de¤erinin olas›l›¤› s›f›rd›r. yaz›labilmektedir. Bir baflka ifadeyle, verilen s›n›r de¤erlerine eflitlik (olas›l›k de-¤eri s›f›r oldu¤undan) sonucu de¤ifltirmemektedir (E¤er aral›k, "65 ve 68 aras›n-da" biçiminde ifade edilirse anlam› "65 < x < 68" dir. E¤er aral›k, "65’den 68'e ka-dar" biçiminde ifade edilirse "65 ≤ x ≤ 68" dir). Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar›na iliflkin örnek için de bu özellik grafik olarak afla¤›da verilmifltir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir